新诠释永别深沉而刚劲的“模形状”【MAMA-135】瑾般亱绉併倰鎶便亜銇︿笅銇曘亜

使用“令东谈主修葺一新的陈旧”用具，数学家们处罚了50年前对于如何对模形状（一类紧迫函数）进行分类的猜念念，这对数论和表面物理产生了影响。

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这个模形状的图形使用了心情和高度刻画了其复数值。

在一个新的诠释中，一个历久被漠视的数学对象终于成为东谈主们暖热的焦点。

乍一看，模形状——几个世纪以来，其丰富的对称性招引了数学家的函数——似乎还是引起了实足的暖热。它们出现时多样各种的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年诠释费马大定理的重要因素，该定救援决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹纲要中施展着中枢作用，这是一个连续发展“大并吞数学表面”的合手续勤奋。它们致使被用来究诘弦表面和量子物理学中的模子。

可是在这些高下文中出现的模形状属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模形状领有额外的结构，使它们更容易究诘。可是更一般的“非同余”模形状远远颠倒它们的友好的同余模形状。“若是你立地取一个模形状，那它是同余模形状的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的原理际遇同余模形状，不然你不要指望。它们十分旷费。

关联词，数学家对非同余模形状知之甚少，尽管它们无处不在。“它们王人备是深沉的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类作念出包罗万象的诠释很难，而况为究诘在非同余情况下理会模形状而修复的用具也很难。这让数学家们概略情他们应该试图诠释什么。

关联词，对于非同余模形状的一个主要猜念念历久以来一直很杰出：就像沙漠中一个清静的、不雄厚的路标。

1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜念念提议者之一，zzllrr小乐译注）介意到非同余模形状似乎有一个终点彰着的性质，将它们与同余模形状永别开来。应该有这样一种公然的方式永别两者“确实十分令东谈主惊诧，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模形状十分不同，因为非同余模形状枯竭同余模形状所具有的对称性。但这些各别天然紧迫，但可能很隐私，难以察觉。

倏得之间，这些各别的彰着凭证可想而知。

Atkin和Swinnerton-Dyer的不雅察自后被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜念念。若是这是确实，它将允许数学家在大部分未修复的非同余对象限制站稳脚跟。通过提供一种精真金不怕火的看成来识别给定的模形状属于哪个类，该猜念念还不错将表面物理学中的一个主要样式 - 旨在救援称为共形场论的粒子相互作用模子 - 置于更坚实的数学基础上。

但50多年来，莫得东谈主能诠释这少量。最终，在 2021 年底，三位数学家凯旋了。他们的诠释似乎假造而来，接管了莫得东谈主盼望在这个究诘限制看到的时候。数学家和物理学家现时初始探索这项责任的成果。

对称性和结构

非同余模形状并不老是被左迁到角落。

在19世纪，数学家刚刚初始发展模形状的表面。这是给一种特殊类型的高度对称函数的称呼 - 它存在于复平面的上半平面中。

复平面是一种绘画复数的看成，复数分为两部分：实数和虚数。模形状输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面不错很容易地映射到单元圆盘的里面；模形状频频使用此映射进行描画。）

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同余模形状（左）具有非同余模形状（右）所枯竭的附加结构。

模形状的好多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊鸠集或“群”界说的。在模形状中，这四个数字永恒是整数。至关紧迫的是，与详情其某些属性的矩阵干系的数字（称为行列式determinant）必须为 1。

有无穷多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵不错用相对精真金不怕火的端正来描画。举例，在扫数矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素不错被 11 整除，而其他两个元素都比11的倍数多 1。

不错用这些关系界说的群——以及与这些群干系的模形状——是被庸碌究诘的同余群。

但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的鸠集不行以这种方式用很好的端正来表征，这使得它们过火干系的模形状不一致。

直到 1930 年代后期——简短在第二次宇宙大战初始时——同余模形状的究诘才初始超越非同余模形状的究诘。就在其时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）修复了一个用具箱，使他大要详情模形状的好多属性，并将它们与其他紧迫的数学对象干系联。

Hecke的看成只适用于同余群过火模形状。非同余群枯竭使Hecke用具箱有用的额外结构。“当你迁移到非同余宇宙中时，你在同余宇宙中领有的这个东西就会隐没，”Franc说。

因此，非同余模形状似乎注定要永远被漠视。这并不是说它们莫得任何我方的特殊结构，潜藏在名义之下。正如Swinnerton-Dyer的勾搭者Bryan Birch（BSD猜念念另一共同提议者，zzllrr小乐译注）也曾写谈的那样，“天然结构更深沉，但似乎险些同样丰富。”可是当波及到拜访这种结构时，数学家们却不知所措。他们致使不知谈从那儿初始。

这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了。

整洁的尺度

这两位数学家念念知谈更多对于非同余模形状，以及他们可能荫藏的任何奥妙。

“这老是数学跳跃的方式，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你究诘具有十分特殊属性和更多结构的东西。然后你去详尽它，试图了解哪些属性会延续，哪些不会。

为了究诘给定的模形状，数学家频频将其涌现为称为q张开式（q-expansion，一种特殊类型的幂级数）的无穷和，然后分析该张开的总共。无人不晓，若是给定的模形状是同余的，那么总共的分母永远不会大于某个固定值。

在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer筹算了q张开式的分数和模形状的分数。当他们这样作念时，他们介意到，若是模形状是不同余的，那么其干总共列中的分母就会无结果地增长。“他们骨子上不错对这些深沉的非同余形状说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华东谈主女数学家，2022年）说。

2021年元旦，高级究诘院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位共事发了一封电子邮件，讲演了“一个如意算盘的念念法”：他念念利用他们一直在究诘的时候来处罚一个王人备不干系的问题，即无界分母猜念念。

永别这两种类型的模形状确实这样容易吗？

数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的不雅察成果，标明无界分母可能口舌同余模形状的普遍标记。这个猜念念“十分惊东谈主”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了咱们一个整洁的尺度来决定一个模形状是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个十分便捷的试金石，在其他情况下可能很难检测到。

“这险些好得令东谈主难以置信，”他补充说。“东谈主们确实不指望出现这样的古迹。”

事实上，莫得东谈主能诠释无界分母的猜念念。李文卿和其他少数东谈主大要诠释对于非同余模形状的特定族是正确的，但数学家不知谈如何处理一般情况。

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然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高级究诘所的Vesselin Dimitrov一王人发布了一份50页的诠释。“这太神奇了，确实很出乎预念念，”Frank说。“嗅觉（数学）社区对如何处理这个问题莫得任何念念法。”

作家但愿他们的论文是将沙漠中的路标发展成熟习谈路网罗的第一步。“咱们通过为最精真金不怕火的问题提供谜底，为数论的这一部分作念出了陋劣的孝敬，”Dimitrov说。

回到老路

Calegari、Dimitrov和唐并莫得入辖下手处罚无界分母猜念念。在2019年底，他们但愿诠释某个数字（黎曼zeta函数的肖似值）是古怪的——就像2的宽泛根同样，它不行写因素数。（他们的最终主义是诠释这个数字和其他肖似的数字是超越的，这意味着，与数字π和e同样，它们不行写为具有整数总共的多项式方程的解。）

从名义上看，这个问题是王人备无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他东谈主发了一封电子邮件，他在电子邮件中描画了 “如意算盘的念念法”：也许他们在曩昔一年中修复的时候不错再行用于诠释无界分母猜念念。

他们试了一下。在七个月内，他们得到了诠释。

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在诠释了无界分母猜念念之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）连接与她的两位合著者勾搭，究诘首先引发诠释的问题。“咱们正在勤奋完成咱们初始的事情，”她说。

首先，他们斟酌了两个空间：扫数具有有界分母的模形状的空间，以及扫数同余模形状的空间。根据无界分母猜念念，这两个空间应该是交流的。由于空间倨傲某些属性，数学家只需要诠释它们的大小交流。这样作念将自动示意它们的等价性。

Calegari、Dimitrov 和唐不错相对容易地筹算第二个空间的大小，从而获取一种同余模形状的概略计数。可是很辛苦到第一个空间的大小臆想。他们必须结合好多不同的时候——包括来自超越数论的时候。

使用这些看成，他们标明具有有界分母的模形状的空间最多不错达到一定的大小。该最大大小比同余模形状的空间大小略大。尽管如斯，这一步“如实是诠释的中枢，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·Bost（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的相识技艺作念到这少量。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的方式诠释了这种空间大小的界，可能给他们的时候带来更庸碌的利用。）

“这口舌常古典、好意思艳的数学，带有19世纪的滋味，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。

然后，三东谈主需要收缩两个空间之间的差距。这样作念将详情任何具有有界分母的模形状必须是同余的。

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因此，他们假定了相背的情况：存在具有有界分母的非同余模形状。根据界说，它将生涯在Calegari、Dimitrov和唐试图收缩的马虎中。然后，这三东谈主标明，这种非同余模形状的存在自动示意了好多其他具有有界分母的非同余模形状的存在。仿佛整片丛林都是从那颗种子长出来的。

但他们还是详情了马虎的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余形状。

这意味着即使是一种这样的形状也不可能存在。他们诠释了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜念念。

数学家发现责任中使用的时候比成果本人更道理。“这些念念法以前从未用于究诘模形状的算术，”Scholl说。

正如Voight所解释的那样，尽管模形状的究诘首先是复分析限制的一部分，但现时的责任一直是数论和代数几何的鸿沟。他说，这篇新论文标记着对复分析的讲究：“这是一个令东谈主修葺一新的陈旧不雅点。

寻找新表面

数学家并不是独一双无界分母猜念念感到昂然的东谈主。它也出现时表面物理学中。

在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer初始的故事同期张开。数学家们介意到一个叫作念魔群（Monster Group）的对象和一个叫作念j函数的模形状之间有一种奇怪的筹划。j函数的总共精准地反应了魔群的某些性质。

自后的究诘标明，这种筹划是由于群和模形状都与称为二维共形场论的紧迫粒子相互作用模子筹划。

可是，将魔群与j函数筹划起来的共形场论仅仅无数共形场论的一个例子。天然这些表面莫得描画咱们生涯的寰宇，但救援它们不错对更履行的量子场论的看成产生新的见地。

因此，物理学家连接通过不雅察它们干系的模形状来究诘共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模形状看法，称为向量值模形状。

为明晰解特定共形场论的情况，你必须诠释它的模形状是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和表面物理学家Michael Tuite说。然后，你不错初始描画共形场论，致使不错发现你不知谈要寻找的新场论。这对于对扫数共形场论进行分类的合手续勤奋尤其紧迫 - 物理学家称之为模指令的样式。

“一朝你知谈它是一个同余模形状，它使你大要在这个样式中取得渊博的跳跃，”Mason说。

物理学家修复了一个框架，允许他们为正在究诘的模形状假定这种同余性质。但这并不等同于领有严格的数学诠释——天然其他数学家自后大要提供这样的诠释，但他们的论点只在某些环境中有用。根据Mason的说法，它还波及通往同余的“一条十分盘曲、纵横交叉的谈路”，尽管他也指出，这条纵横交叉的谈路产生了紧迫的见地。

Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜念念的诠释冲破了这一切。这是因为，事实诠释，与共形场论干系的模形状老是具有整数总共。根据界说，整数的分母为 1，这意味着它们的分母永恒是有界的。由于无界分母猜念念指出有界分母仅与同余模形状干系，因此不再需要作念出假定。“你致使不需要了解[共形场论]，”唐说。新的诠释会自动为扫数这些情况提供同余性 —— 以免费的方式。

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芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）究诘模形状和干总共学对象。

“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。现时终于处罚了。

“这确实是一个古迹，”Mason说。“这仅仅古迹般地从这些数列是整数的事实中得出的。”

他还是初始将成果利用到我方的责任中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我念念要处罚的成果提供了一个十分受接待的捷径。它削减了多量我无法看到的潜在责任。”

它还将模指令样式和其他成果置于更刚劲的数学基础上。“这将使数学家大要再行诠释[以前的]成果，或者信服它们，”Mason说。

“我以为这确实会产生影响，终点是在数学方面，仅仅确实，确实把事情筹划起来，简直地了解正在发生的事情，”Tuite说。

数学超越性

在他们发布证光线的一年里，Calegari、Dimitrov和唐连接他们的勾搭。他们现时又回到了超越数论中首先引发他们对猜念念意思意思的问题类型。“咱们正在勤奋完成咱们初始的事情，”唐说。事实上，他们还是用他们的时候来诠释几个感意思意思的数字是古怪数。

“他们确实把[看成]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到十分昂然。”

这些看成也可能适用于数论中的其他问题。

撇开时候不谈，无界分母猜念念的处罚标记着更好地救援非同余模形状的第一个紧迫里程碑之一。“这是一个了不得的建树，咱们不错通过这种方式在不同余形状上取得一些进展，”Franc说。“我对将来10年，20年感到昂然，望望会发生什么。”

李文卿，Voight和其他东谈主还是初始寻找出现时这些深沉模形状分母中的数字模式。他们但愿通过这样作念，不错找到更深头绪结构的示意。

“这个无界分母的猜念念仅仅一个初始，”李文卿说。

作家：Jordana Cepelewicz 2023-3-9【MAMA-135】瑾般亱绉併倰鎶便亜銇︿笅銇曘亜

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